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這個就…把什摸理論通通都丟開，直接來下個結論吧~ @ @++

根據上篇，或者… 唔、不想知道也不要緊~ XDD
我們可以歸納出、要進行box-mull有幾個不可或缺的步驟。

  1. 得知常態分佈函數，如下：
    $$
    \begin{equation}
    p(x): = \frac {e ^{-\frac{x^2}{2}}} {\sqrt {2 \pi}} \Longleftarrow N(0, 1)
    \text{ ,$ \\\ $ the mean = 0, variance = 1 }
    \end{equation}
    $$

  2. 將上述算式利用Jacobian從xy系統變成極座標系統。然後，結論就出來了~ (← 這也太快了吧~ XDD)
    $$
    \begin{equation}
    U(R) = p ~ \Longrightarrow ~ R = \sqrt{-2 log (1 - p)}
    \end{equation}
    $$

    因為是轉成極座標系統，所以 $x=r cos{\theta}$、$y=r sin{\theta}$

  3. 在此分成2部份…

    • 我覺得第2點結論出來就滿足了，那就…只需要取得p = rand()，代入得到R，然後，$\theta$的話就…方便咩~就
      一樣使用p代入，然後隨便看是要找x或y的都可以，這樣就結束了。這個的…亂數分佈會是長下面那樣…

    • 假如，尼跟我一樣，我需要的是，在常態分佈下的樣本…那很簡單，就是取2個rand，一個是p，另一個就是$\theta$，
      然後… 一樣帶入算式就沒問題啦~然後、這一個的分佈會是這樣…，應該可以很明顯的區分出它們的不同啦~嗯嗯

      雖然，我本人有點偷懶~ = . .= 上面用的圖，是gaussian的圖形，可是，長得差不多啦~ 我懶得換了…

而其實咧~ @ @++ box-muller的作法，激發了我另一個猜想… = “””= 其實，原本就想過了，只是… 我不太懂的jacobian的
算法，該怎樣替換~ XDD 現在大概懂了(?) 哈…所以，我們把上述的結論稍微抽出來代換一下~ XDDD

  1. 取得想要的函數圖形…

  2. 將上述的算式利用jacobian從xy系統變成uv系統。結論就出來了~ (uv系統，不一定是要orthogonal的座標系)

  3. 然後…跟上面的第3點一樣，看得到的算式是啥，就…取rand，然後，代入，接下來換掉就沒問題啦~ @ @+++

我覺得，如果採用自訂的函數圖形，通常就會是想要均勻樣本，所以…應該會採用2個rand的方式做代換。

以下面的為簡單的例子，免得說我騙人~ = . .= 這明明就真的可以達到咩~

這一個是cos分佈，範圍是取一個$\pi$，$-1 \le r \le 1$

這個是2x-y的..線性分佈，由於不是mapping到極座標，所以，圖形就不會有那種$r cos{\theta}$或$r sin{\theta}$的特徵，
通常、線性的這種，會牽扯到正負無限大，或者要取$>$或$<$的問題…這類的問題，阿就自己評估一下就行，下面的話，
是取$<$而且、x的範圍是[0, 2]，大概就是降…




題外話，我真的覺得…. = . .= 寫這類的文章的..人類們真的很厲害，我佩服萬分，還可以一寫就…..啪答啪答的好
幾個系列，我…我寫一個就覺得要不行了~ = . .= 光是從回憶算式，然後，很龜毛的一定要弄成latex，接著，圖形
還要寫個程式跑跑看，測試一下，有時候再順便(?)醞釀的新東西也套進去玩(某方面來說，真的太不可取了~ XDD)，
玩完後…以為降就結束了(?)，不… 當然還要放到跟文章一起~ = . .= 然後，再加上突如其來的靈感，還要給它
balabala…這真的是~無底洞阿~(汗||) 光是這樣短短的2篇，尼知道我花了我多少時間嗎~ Q 口Q 是我花將近1個月拼
拼湊湊，犧牲我打電動、睡午覺、吃零食、看電視….無數歡樂的時光才換來的捏~

所以，啾~竟，小助助還可以堅持多久捏

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